אינטגרלים

בגדול, אינטגרל הוא הפונקציה שכשגזרו אותה יצאה הפונקציה שיש לך.
המשמעות היא שהפונקציה שאיתה מתחילים את השאלה (או אליה מגיעים במהלך השאלה) היא למעשה הנגזרת של האינטגרל אליו צריך להגיע.
האינטגרל נקרא גם "פונקציה קדומה".

כשמתעסקים עם אינטגרלים הרעיון הוא לחשוב נגזרות, אבל ב"רוורס".

אינטגרל לא-מסויים
שם נוראי לעקרון פשוט: מאחר ולמספר פונקציות יכולה להיות אותה נגזרת, אז לפונקציה אחת יכולים להיות מספר אינטגרלים.
דוגמה א': האינטגרל של הפונקציה $f_{(x)} =4x^{2}+6$
יירשם כ: $int 4x^{2}+6 = {4 over 3}x^{3}+6x + C$
והוא יכול להיות ${4 over 3}x^{3}+6x + 7$ או ${4 over 3}x^{3}+6x + 25$ או ${4 over 3}x^{3}+6x + {3 over 7}$ או ${4 over 3}x^{3}+6x + 32,345,624$ או הרבה דברים אחרים
אז איזה מהם הוא האינטגרל שצריך לרשום?
התשובה היא שאת כולם כי כולם נכונים. ויש אפילו דרך לרשום צורה כללית שתבטא את כולם:

int f(ax+b) dx={1 over a}F(ax + b) +C

(מה זה ה dx?)

האיבר C הוא האיבר שמאפשר לנוסחה לבטא קבוצה של אינטגרלים, שבמקום C יש להם מספר קבוע כלשהו (שכמובן נעלם אם גוזרים את הפונקציה).
הצורה, אם כך, לא מבטאת אינטגרל מסויים, ומכאן השם.

(דבר משרד החינוך)

אינטגרל מסויים
אינטגרל מסויים הוא ההפרש בין האינטגרל בנקודה מסויימת לאינטגרל בנקודה אחרת.
בשביל להבין את המשפט הזה, צריך לדעת קודם שאינטגרל של פונקציה מבטא גם את גודל השטח שהגרף של אותה פונקציה תוחם עם ציר ה x.
(על פי מה יודעים שהאינטגרל של פונקציה מראה את השטח בינה לבין ציר x?)

זה אומר שהאינטגרל של הפונקציה y=-2x²+8 יכול לבטא את השטח המקווקו בשרטוט:

אבל בשביל שנוכל באמת למצוא את הגודל נצטרך להגדיר את התחום בו אנו מעוניינים. בואו נניח שהתחום בו אנו מעוניינים הוא -2<x<2.
זה אומר שנרצה למצוא רק את השטח המקווקו בשרטוט הבא:

לשם כך נרשום:
$int_{-2}^{2} -2x^{2}+8 dx= left [ -{2 over 3} x^{3}+8x+C right ]_{-2}^{2}=-{2 over 3}2^{3}+8 cdot 2 + C -(-{2 over 3} (-2)^{3}+8 cdot (-2) + C)$
ניתן לראות כאן שלושה שלבים:
א) רישום האינטגרל
ב) ביצוע האינטגרציה
ג) מעבר לרישום מתימטי פשוט

ביצוע האינטגרציה (שלב ב') יוצר לנו פונקציה שאם נגזור אותה (אתם מוזמנים לנסות) נקבל את הפונקציה שעליה ביצענו את האינטגרציה (הפונקציה משלב א').
המעבר לרישום מתימטי פשוט (שלב ג') נעשה על ידי חיסור הפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך העליון של האינטגרל (באדום), מהפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך התחתון של האינטגרל (בירוק). ( שימו לב! הערך העליון תמיד יהיה גדול מהערך התחתון!)

הפתרון ממשיך כך:
{} = -{16 over 3}+16 + C - ({16 over 3} - 16 + C) = 16+16-{16 over 3}-{16 over 3}=32-{32 over 3}=21{2 over 3}

וזה גודל השטח שרצינו למצוא.

שימו לב שה C מתקזז. מאחר שמדובר בחיסור הפונקציה מעצמה כשרק ה x משתנה, ה C תמיד יתקזז, ולפיכך נהוג בכלל שלא לכתוב אותו בכל התהליך.
כך הופך ה C למאפיין של האינטגרל הלא-מסויים.
הפתרון שלנו למעשה צריך להכתב כך:
$int_{-2}^{2} -2x^{2}+8 dx= left [ -{2 over 3} x^{3}+8x right ]_{-2}^{2}=-{2 over 3}2^{3}+8 cdot 2 -(-{2 over 3} (-2)^{3}+8 cdot (-2) )$

שטח שחסום על ידי מספר גרפים שונים, יחושב (בדרך כלל) על ידי חיסור או חיבור השטחים שחוסמים אותם גרפים:

figure_12

יחושב על ידי: $int^5_-1 {f _(x)} dx - int^5_-1 {g_{(x)} dx}$
[לעשות: הוספה של מקרים נוספים - שטחים עם ציר y, שני ישרים וגרף (שטח מפוצל), ואולי גם איזורים מתחת לציר x]

אפשר היה להביא כאן דוגמאות שונות של נוסחאות והאינטגרלים שלהן, אך הדבר מיותר - על מנת לעבוד עם אינטגרלים צריך פשוט לדעת איך גוזרים, ואז לעשות בדיוק את ההיפך.
הבדיקה הטובה ביותר לאינטגרל היא לגזור את הפונקציה הקדומה שיצאה בתוצאה. אם תוצאת הגזירה היא הפונקציה לה עשינו אינטגרציה, אז האינטגרציה היתה נכונה. (ותופתעו כמה קל לטעות בזה).

מספר פתרונות מבגרויות יבהירו את העניין:

(כשתתקבל תגובת משרד החינוך לגבי פרסום בגרויות, יובאו כאן פתרונות)

מה זה ה dx?
הdx הוא סימון ל"העתק של x" ואינו חלק מעשי מן הנוסחה. המשמעות שלו מורגשת בעיקר בהוכחה של העובדה שאינטגרל מראה את השטח שמתחת לגרף הפונקציה. מאחר והוכחה זו עדיין לא מובאת פה, יש להתיחס אליו כרגע כסימון שיש לכתוב למען הדיוק, מבלי להבין את משמעותו המלאה (בתקוה שמצב זה ישתנה בעתיד).

דבר משרד החינוך
ב"חוזר מפמ"רי מתימטיקה" מנובמבר 2002 האינטגרל הלא מסויים נקרא גם "אנטי נגזרת".

על פי מה יודעים שהאינטגרל של פונקציה מראה את השטח בינה לבין ציר x?
עד עכשיו לא מצאתי בספרים הוכחה מספקת (שלא כוללת את המשפט "אבל זה מחוץ לתחום העיסוק של ספר זה"). כשאמצא הוכחה מתימטית נורמלית, היא תופיע כאן.